Εμβαδόν Κύκλου

Η παρακάτω παρουσίαση του τρόπου που βρίσκουμε το εμβαδόν κύκλου είναι
από την Εγκύκλιο Παιδεία -http://egpaid.blogspot.com

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ

Ο κύκλος είναι μια κλειστή καμπύλη, που κάθε σημείο της 
απέχει εξίσου από ένα σημείο.
 Το σημείο αυτό λέγεται κέντρο του κύκλου.
Ακτίνα του κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα 
που ενώνει το κέντρο με ένα σημείο του κύκλου.

Διάμετρος του κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα 
που ενώνει δύο σημεία του κύκλου και περνά από το κέντρο.

Η διάμετρος κόβει τον κύκλο σε δύο ημικύκλια που είναι 
ίσα το ένα με το άλλο. Ένας κύκλος έχει άπειρες
 ακτίνες και άπειρες διαμέτρους.

Στον ίδιο κύκλο όλες οι ακτίνες είναι ίσες μεταξύ τους. 
Επίσης και όλες οι διάμετροι είναι ίσες μεταξύ τους.

• Σε κάθε κύκλο η ακτίνα, την οποία συνήθως ονομάζουμε (α),

 είναι το μισό της διαμέτρου, 
ενώ η διάμετρος (δ) είναι διπλάσια της ακτίνας.

Άρα α = δ : 2 και δ = 2 . α

• Σε κάθε κύκλο το μέγεθος του μήκους του 

είναι ανάλογο με το μέγεθος της ακτίνας του 
ή το μέγεθος της διαμέτρου του.

• Σε κάθε κύκλο το μήκος του (Κ) 

είναι 3,14 φορές μεγαλύτερο από τη διάμετρό του, 
ενώ αντιστρόφως η διάμετρός του 
είναι 3,14 φορές μικρότερη από το μήκος του.

Άρα Κ = 3,14 . δ και δ = Κ : 3,14

Τον αριθμό 3,14 τον ονομάζουμε πάντα αριθμό π.

Κυκλικός δίσκος λέγεται ο κύκλος μαζί με την επιφάνεια
 που κλείνει μέσα του. Για να βρω το εμβαδόν 
του κυκλικού δίσκου εφαρμόζω τον τύπο:
Εμβαδό κυκλικού δίσκου = π. α² ή αλλιώς 

Ε κυκλ. δίσκου = π . (α . α)

• Έχουμε μάθει να βρίσκουμε το εμβαδόν διαφόρων επιπέδων σχημάτων όπως του τετραγώνου, ορθογωνίου, παραλληλογράμμου, τριγώνου και τραπεζίου. Μάθαμε επίσης ότι αν ένα σχήμα δεν είναι κάποιο από αυτά τότε ,το χωρίζουμε σε κομμάτια,βρίσκουμε το εμβαδόν κάθε κομματιού και μετά τα προσθέτουμεΓια να υπολογίσουμε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ,θα τον χωρίσουμε σε κομμάτια, αλλά αντί να βρούμε το εμβαδόν κάθε κομματιού θα τα τοποθετήσουμε κατάλληλα ώστε να σχηματισθεί ένα ορθογώνιο του οποίου το εμβαδόν θα είναι ίσο με το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου, αφού θα αποτελούνται από τα ίδια κομμάτια. Μετά θα βρούμε το εμβαδόν του ορθογωνίου και έτσι θα έχουμε υπολογίσει και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.

Χωρίζουμε τον κυκλικό δίσκο π.χ. σε 6 ίσα μέρη και τα τοποθετούμε το ένα δίπλα στο άλλο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Παρατηρούμε ότι η μορφή του σχήματος που προκύπτει, μοιάζει με ορθογώνιο.

Αν χωρίσουμε τον κυκλικό δίσκο σε περισσότερα ίσα μέρη και τατοποθετήσουμε, όπως και προηγουμένως , βλέπουμε ότι η μορφή του σχήματος που προκύπτει μοιάζει περισσότερο με ορθογώνιο.

Αν συνεχίσουμε τη διαδικασία αυτή, αυξάνοντας συνεχώς το πλήθος των ίσων μερών στα οποία διαιρείται ο κυκλικός δίσκος, καταλαβαίνουμε ότι το σχήμα που σχηματίζεται θα προσεγγίζει ολοένα και περισσότερο ένα ορθογώνιο, με βάση το μισό του μήκους του κύκλου (δηλ. πρ) και ύψος την ακτίνα ρ του κύκλου αυτού.

Επομένως το εμβαδόν του ορθογωνίου θα είναι

Ε = βάση .ύψος = πρ∙ρ=πρ²

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι, το εμβαδόν κυκλικού δίσκου με ακτίνα ρ είναι

Ε=πρ²